дифференцирование по формулам лагранжа

372,6 Kb.страница6/6Дата конвертации26.11.2011Размер372,6 Kb.Тип Смотрите также:           6 ^ Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа. Для функции мы построим интерполяционный полином Лагранжа , принимающий в точках , , , , заданные значения , , . Возникает вопрос, насколько близко построенный полином приближается к функции в других точках, т. е. как велик остаточный член . Предположим, что при , содержащем все узлы интерполирования, функция имеет все производные , , , до (n+1) ого порядка включительно. Введем вспомогательную функцию (8), где С- постоянный коэффициент, который будет выбран ниже. Очевидно, имеет (n+1) корень в точках , , , . Подберем коэффициент С так, чтобы имела (n+2)-ой корень в любой фиксированной точке, не совпадающей с узлами интерполирования. Для этого достаточно положить . Так как , то .При этом значении С функция имеет (n+2) корня на отрезке и будет обращаться в нуль на концах каждого из отрезков , , , , , ,. Применяя теорему Ролля к каждому из этих отрезков, убеждаемся, что производная , имеет не менее (n+1)-го корня. Применив теорему Ролля к производной , мы убеждаемся что производная имеет n корней на . Продолжая эти рассуждения, придем к заключению, что на рассматриваемом производная имеет хотя бы один корень, который обозначим через , т.е. . Из (8), так как и , имеем: . При получаем: . Отсюда , . С другой стороны, , т.е. , то есть. Так как- произвольно то справедливо ; . Отсюда если известна верхняя граница , получим оценку для абсолютной погрешности интерполяционной формулы Лагранжа , . В отношении вычислений формула Лагранжа удобна в задаче интерполирования многих функций в одной точке , т. к. все значения множителей можно вычислить однажды для всех функций. Но формула Лагранжа имеет существенный недостаток. Бывает, что заданное число узлов недостаточно для достижения заданной точности. Тогда ко взятым узлам добавляют еще один или несколько и выполняют выполнение заново.Конечные разности различных порядков. ^ Таблица разности.Часто интерполирование ведется для функций

Исследование любого исходного процесса или объекта методом вычислительного эксперимента неизбежно носит приближенный характер, потому что на любом этапе вносятся те или иные погрешности

Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа - Исследование любого исходного процесса или объекта методом...